Геометрийн өсөлт ба түүний шинж чанар

Геометрийн дэвшил нь математикт шинжлэх ухаан, хэрэглээний утгатай байх нь чухал бөгөөд математикийн өндөр түвшний хувьд ч гэсэн цуврал онолын хувьд маш өргөн хүрээг хамарсан байдаг. Эртний Египетээс гарсан ахиц дэвшлийн талаарх анхны мэдээлэл нь ялангуяа долоон мууртай долоон хүний тухай Rhind-ийн бичээсээс мэдэгдэж байсан даалгавар юм. Энэ даалгавар нь бусад улс орнуудад өөр өөр цаг үед олон удаа давтагдаж байв. Физикчи (XIII зууны) гэж алдаршсан Pisa-ийн агуу Леонардо ч гэсэн түүний "Абакусын ном" -д түүнд ханджээ.

Тиймээс геометрийн хөгжил нь эртний түүхтэй. Энэ нь дарааллын бус тоогоор дарааллын тоон дараалал бөгөөд дараачийн дараагийн нэг нь давталтын томъёогоор өмнөх үеийн үржвэрийг хуваарь гэж нэрлэдэг байнгын бус тоогоор тодорхойлогддог (энэ нь ихэвчлэн q үсэг).
Мэдээжээр, энэ нь дарааллын дараалсан гишүүн бүрийг өмнө нь хувааж олдож болно, энэ нь z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Тиймээс, дэвшлийг (zn) өөрөө тодорхойлохын тулд түүний эхний нэр томьёо y 1 ба хуваарьт q нь мэдэгдэхүйц хангалттай байх болно.

Жишээлбэл, z 1 = 7, q = - 4 (q <0) гэж үзвэл дараах геометрийн явцыг авч үзье: 7, - 28, 112, - 448, .... Бидний олж мэдсэн дараалал нь монотон биш юм.

Дурын дараалал нь монотоник (өсөлт / буурах), түүний дараачийн нэр томьёо бүр өмнөхөөсөө доогуур / бага байх үед санах хэрэгтэй. Жишээ нь 2, 5, 9, ..., -10, -100, -1000, ... дарааллууд нь хоёрдмол утгатай геометр прогресс юм.

Q = 1 тохиолдолд кредит дэх бүх нэр томъёо тэнцүү бөгөөд үүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Энэ төрлийн дараалал нь дараалал болохын тулд дараах шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөлийг хангасан байх ёстой. Үүнд: Хоёрдугаар үеээс эхлэн гишүүн бүр нь хөрш зэргэлдээ орших геометрийн дундаж байх ёстой.

Энэ үл хөдлөх хөрөнгө нь ойролцоогоор хоёр хажуугаар мэдэгдэж буй дэвшилтийн хугацааг олох боломж олгодог.

Геометрийн прогрессийн n -хэлбэр нь дараах томъёогоос хялбархан олж болно: zn = z 1 * q ^ (n-1), z 1 ба denominator q гэсэн эхний ойлголтыг олж мэднэ.

Тоон дэс дараалал нь нийлбэртэй байдаг тул хэд хэдэн энгийн тооцоолол нь биднийг дэвшүүлсэн эхний нөхцлийн нийлбэрийг тооцоолох боломжийг олгодог томъёог өгдөг. Үүнд:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Томъёонд zn-ийг орлуулан z1 * q ^ (n-1) илэрхийлж, энэ явцын нийлбэрийн хоёр дахь томъёог авна: S n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Дараахь сонирхолтой баримтууд анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй: 6-р зууны үед эртний Вавилон дахь малтлагын үеэр олдсон шавар хавтан. МЭӨ нь 1 + 2 + 22 + ... + 29-ийн нийлбэрийг аравдугаар зэргийн хувьд хасах 1-тэй тэнцүү юм. Энэ үзэгдлийн шийдэл хараахан олоогүй байна.

Геометрийн прогрессийн өөр нэг шинж чанарыг бид дарааллын төгсгөлүүдээс адил зайд байрладаг нэр томъёоны тогтмол бүтээгдэхүүнийг тэмдэглэнэ.

Шинжлэх ухааны үүднээс авч үзвэл хязгааргүй геометр прогресс болон түүний нийлбэрийг тооцоолох нь чухал юм. (Yn) нь (qn) нь нөхцөл байдал q (<1) нөхцлийг хангасан q хуваарьтай генометрийн прогресс гэж үзвэл, түүний нийлбэр нь бидний анхны нэр томъёоны нийлбэр хязгаартай, n нь unbounded n Хязгааргүй ойртох.

Томъёоны тусламжтайгаар энэ дүнг эцэст нь олох хэрэгтэй:

S n = y 1 / (1 - q).

Практик дээр энэхүү дэвшлийн илэрхий энгийн аргаар далдлагдсан маш том хүчин чадал бий болсон. Жишээ нь хэрэв бид дараахь алгоритмаар дарааллын квадратуудыг дарааллаар хийвэл өмнөх талуудын дунд цэгүүдийг холбосон бол тэдгээрийн талбай нь хуваарийн 1/2 хуваарьтай хязгааргүй геометрийн прогресс үүсгэдэг. Барилга байгууламжийн үе шат бүрт авсан гурвалжингийн талбайнуудтай ижил дэвшил бий бөгөөд тэдгээрийн нийлбэр нь анхны талбайтай тэнцүү байна.