Магадлалын онол. үйл явдлын магадлал, хааяа үйл явдал (магадлалын онол). магадлалын онолын хувьд бие даасан, нийцгүй хөгжил

Энэ нь олон хүн энэ нь ямар нэг хэмжээгээр санамсаргүй тулд үйл явдлыг тоолж болох юм гэж бодож байна гэж юу л бол. Энгийн үгээр хэлбэл, энэ нь бодитой шоо нь куб аль тал нь дараагийн удаа унаж мэдэх явдал юм. Энэ нь хоёр их эрдэмтэд асуух асуулт байсан, энэ шинжлэх ухааны үндэс, онол тавьсан магадлалын, магадлалыг нь өргөн хангалттай судалсан үйл явдал.

үе

Та магадлалын онол зэрэг үзэл баримтлалыг тодорхойлох оролдвол бид дараах авах: энэ нь санамсаргүй үйл явдал нь тогтмол судалдаг математикийн салбарын нэг юм. Мэдээж, энэ үзэл баримтлал нь үнэхээр мөн чанарыг илчлэх биш, иймээс та илүү дэлгэрэнгүй үүнийг анхаарах хэрэгтэй.

Би онолын үүсгэн эхлэх хэлмээр байна. Дээр дурдсанчлан, тэнд хоёр байсан гэж Нэг Ferma болон Blez Paskal. Тэд эхлээд үйл явдлын үр дүнг тооцох томьёог, математик тооцоог ашиглан оролдлого байсан юм. Ер нь, энэ нь шинжлэх ухааны анхан ч Дундад зууны байна. төрөл бүрийн сэтгэгчид, судлаачид, тухайлбал рулет, craps шиг казино тоглоом гэх мэт шинжлэх оролдсон боловч ингэснээр загварыг бий болгох, мөн хэд хэдэн хувь алдагдал юм. үндэс суурь нь мөн арван долдугаар зууны тавьсан байсан нь дээр дурдсан эрдэмтэд байсан юм.

Эхэндээ тэдний ажил энэ чиглэлээр асар их ололт амжилт нь холбоотой байж чадахгүй байсан, дараа нь, тэд юу, тэд зүгээр л эмпирик баримт, туршилт томьёог ашиглан ямар ч тодорхой байсан. Цаг хугацаа өнгөрөх тусам энэ нь маш их үр дүн, яс шидэж нь ажиглалтын үр дүнд гарч хүрэх болсон. Энэ хэрэгсэл анхны ялгаатай томъёо авчрах тусалсан байна.

дэмжигчид

бус, "магадлалын онол" -ын нэрээр нэрлэгдсэн сэдвийг судлах явцад Christiaan Хьюгенс зэрэг хүн (үйл явдлын магадлал энэ шинжлэх ухаан үүнийг харуулж байна) дурдана. Энэ хүн нь маш сонирхолтой юм. Тэрээр, түүнчлэн дээр дурдсан эрдэмтэд санамсаргүй үйл явдлын загварыг гадагш гаргаж математик томъёогоор хэлбэрээр оролдсон байна. Энэ нь түүний бүх ажил хүмүүсийн оюун давхцаж биш юм байна, тэр Паскалийн ба Фермагийн хуваалцах биш үү гэдгийг тэмдэглэх хэрэгтэй. Хьюгенс гаралтай магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд.

Нэгэн сонирхолтой баримтыг өөрийн ажил хорин жилийн өмнө, нарийн байх, анхдагчдын ажлын үр дүнг өмнө урт ирсэн юм. Зөвхөн тодорхой байсан үзэл баримтлал дунд байдаг:

• магадлалын утга боломж үзэл баримтлал байх;
• дискрет тохиолдолд хүлээлт;
• Үүнээс гадна болон Магадлалын үржүүлэх теоремууд.

Түүнчлэн, нэг Yakoba Bernulli, мөн асуудлын судалгаанд хувь нэмрээ оруулсан мартаж болохгүй. Өөрийн хэнд ч хараат бус туршилтууд байдаг дамжуулан, тэр тооны хуулийн баталгааг хангах боломжтой болсон юм. Хариуд нь эрдэмтэд Пуассоны болон Лапласын, эрт арван есдүгээр зууны үед ажиллаж байсан, анхны теорем баталж чадсан юм. Тэр мөч ажиглалтын алдаа дүн шинжилгээ хийх эхлэн бид магадлалын онолыг ашиглан эхэлсэн. Энэ нь шинжлэх ухаан орчим намын чадахгүй, ОХУ-ын эрдэмтэд, харин Марков, Chebyshev болон Dyapunov. Тэд ажил хийж их суутнуудын дээр үндэслэсэн байдаг, математикийн нэг салбар сэдвийг хамгаалагдсан. Бид арван есдүгээр зууны сүүлээр энэ тоо ажиллаж, өөрсдийн хувь нэмрийг ачаар зэрэг үзэгдлийг нотлогдсон байна:

• олон тооны хууль,
• Марков гинж онол;
• төв хязгаар теорем.

Тиймээс шинжлэх ухааны болон түүний хувь нэмэр оруулсан томоохон зан нь төрсөн түүх, бүх зүйл их бага тодорхой юм. Одоо энэ нь бүх баримтыг нь бие махбодийн цаг нь болсон.

үндсэн ойлголтууд

Та барих өмнө хууль тогтоомж, теоремууд магадлалын онолын үндсэн үзэл баримтлал сурах хэрэгтэй. Үйл энэ нь давамгайлах үүрэг эзэлж байна. Энэ сэдэв биш харин өргөн цар хүрээтэй, гэхдээ энэ нь ямар л үлдсэн ойлгох чадвартай байх болно.

магадлалын онолын хувьд үйл явдал - энэ нь туршилтын үр дүнгийн аливаа тогтоосон. Энэ үзэгдлийн үзэл баримтлал байхгүй хангалттай биш юм. Тиймээс энэ салбарт ажиллаж Lotman эрдэмтэн, Энэ тохиолдолд бид юу яриад байна гэж илэрхийлсэн байна "энэ нь тийм юм болоогүй юм ч болсон."

Санамсаргүй үйл явдал (магадлалын онол тэдэнд онцгой анхаарч) - тохиолдох боломжтой байх нь үнэхээр ямар ч үзэгдлийг хамарсан ойлголт юм. Эсвэл эсрэгээр, энэ хувилбарын нөхцөл нь янз бүрийн гүйцэтгэл болж чадахгүй. Энэ нь мөн л санамсаргүй үйл явдал тохиолдох үзэгдэл нийт хэмжээ эзэлдэг гэдгийг мэдэхэд үнэ цэнэтэй байдаг. Магадлалын онол бүх нөхцөл нь байнга давтаж болно гэдгийг харуулж байна. Энэ нь тэдний үйл хөдлөл "туршлага" гэж нэрлэдэг байна билээ "туршилтын".

Чухал ач холбогдолтой үйл явдал - энэ нь туршилтын нэг зуун хувь болох юм үзэгдэл юм. Иймээс боломжгүй үйл явдал - Энэ тийм юм болоогүй байгаа зүйл юм.

хос Action (уламжлалт тохиолдолд А болон тохиолдолд В) хослуулан нэгэн зэрэг тохиолддог үзэгдэл юм. Тэд AB гэж нэрлэдэг байна.

A үйл явдлын хос, В хэмжээ - С тэдний хамгийн багадаа нэг (A эсвэл B), та C. томъёо тодорхойлсон үзэгдэл C = А + Б гэж бичигдсэн авах юм бол, өөрөөр хэлбэл байна

магадлалын онолын хувьд нийцгүй хөгжил хоёр тохиолдол харилцан онцгой байдаг гэсэн үг юм. Үүний зэрэгцээ тэд ямар ч тохиолдолд гарч чадахгүй байгаа байна. магадлалын онолын хувьд хамтарсан үйл явдал - энэ нь тэдний antipode юм. Дүгнэлт нь юу болсон бол энэ нь В саад болохгүй байгаа юм

үйл явдал (магадлалын онол дэлгэрэнгүй тэднийг үзсэн) эсрэг, ойлгоход хялбар байдаг. Энэ нь харьцуулахад тэдний шийдвэрлэх хамгийн сайн арга юм. Тэд бараг л магадлалын онолын хувьд ижил зэрэг нийцгүй хөгжил юм. Гэсэн хэдий ч, тэдний ялгаа нь ямар ч тохиолдолд үзэгдлийг нь олон ургальч нэг гарч байх ёстой юм.

Үүний нэгэн адил магадлалтай үйл явдал - эдгээр үйлдлүүд давтагдах боломж тэнцүү байна. тодорхой болгохын тулд, та зоос Унтахыг завдан төсөөлж болно: өөрийн талын нэг алдагдал бусад адил магадлалтай алдагдал юм.

Энэ үйл явдлыг таатай жишээг авч үзэх нь илүү хялбар байдаг. сондгой тооны цагаас нь нас бардаг нь өнхрөх, хоёр дахь - - шоо таван тооны төрх хэрэг явдал А анхны онд хэрэг явдал байдаг гэж бодъё. Дараа нь энэ нь тааламжтай V. байна гэж болж байна

Бие даасан үйл явдал магадлалын онолын хувьд зөвхөн хоёр буюу түүнээс дээш удаа тооцоо болон бусад аливаа үйл ажиллагааны бие даасан татан оролцуулах юм. Жишээ нь, A - тавцангаас dostavanie үүрэнд - алдагдал салаа сүүлтэй зоос шидэгдэж, дайвалзаж байгаа ба B байна. Тэд магадлалын онолын хувьд бие даасан үйл явдал байдаг. Энэ мөчөөс эхлэн энэ нь тодорхой болсон юм.

магадлалын онолын хувьд хамааралтай үйл явдал зөвхөн багц бас зөвшөөрнө. Тэд өөрөөр хэлбэл, нөгөө талаас нэг нь хамааралтай гэсэн үг үзэгдэл зөвхөн тохиолдолд дахь аль хэдийн эсрэгээр, гарсан үед, эсвэл энэ нь бол тийм юм болоогүй юм бэ, тохиолдож болно - Б гол нөхцөл

нэг бүрэлдэхүүн бүрдсэн санамсаргүй туршилтын үр дүн нь - энэ нь анхан шатны үйл явдал юм. Магадлалын онол энэ нь зөвхөн нэг удаа хийж байгаа үзэгдэл юм гэж хэлсэн байна.

үндсэн томъёо

Тиймээс дээрх "үйл явдал", "магадлалын онол" -ын үзэл баримтлалыг авч байсан, энэ нь шинжлэх ухааны гол Нэр томъёоны тодорхойлолтыг мөн өгсөн юм. Одоо энэ нь чухал томъёо нь өөрөө танилцах цаг нь болсон. Эдгээр нь илэрхийллүүд нь математик магадлалын онол зэрэг хүнд хэцүү сэдэв гол нь бүх үзэл баримтлалыг баталсан байна. үйл явдлын магадлал, асар их үүрэг гүйцэтгэдэг.

Комбинаторик үндсэн томъёогоор эхлэх сайн байна. Мөн та нар тэднийг эхлэхийн өмнө, энэ нь юу болохыг харгалзан үнэ цэнэтэй юм.

Комбинаторик - үндсэндээ тэр хослолын хэд хэдэн тэргүүлэх, бүхэл ба аль аль нь гэх мэт тоо, тэдгээрийн элементүүд, төрөл бүрийн мэдээлэл, янз бүрийн сэлгэмэлийг нь асар олон тооны сурч байна, математикийн нэг салбар юм ... магадлалын онол гадна энэ салбарын статистик, компьютерийн шинжлэх ухаан, криптографийн нь чухал юм.

Тэгэхээр одоо та нар өөрсөддөө болон тэдгээрийн тодорхойлолт томъёонд танилцуулах талаар хөдөлгөж болно.

Эдгээр анхны дараах байдлаар энэ нь, сэлгэмэлийг тоо нь илэрхийлэл юм:

P_n = N ⋅ (N - 1) ⋅ (N - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = N!

элемент нь зөвхөн зохион дарааллаар нь ялгаатай байвал тэгшитгэл нь зөвхөн тохиолдолд хэрэглэнэ.

Одоо байрлуулах томъёо, энэ нь гэж үзэж болно иймэрхүү харагдах болно:

A_n ^ м = N ⋅ (N - 1) ⋅ (N-2) ⋅ ⋅ ... (N - M + 1) = N! (N - м)!

Энэ илэрхийлэл нь зөвхөн зэрэг байрлуулах зөвхөн элемент, бас түүний бүтэц хэрэглэж болно.

Комбинаторик гурав дахь тэгшитгэл ба энэ нь сүүлийн, хослолын тоо томъёог гэж нэрлэдэг байна:

C_n ^ м = N! : ((N - м))! : M!

дээж гэж нэрлэдэг Хосолсон тус тус захиалсан байгаа биш, мөн энэ дүрмийг хэрэглэнэ.

Комбинаторик томъёолол амархан ойлгож ирсэн нь, та одоо магадлалын сонгодог тодорхойлолтоор явж болно. Энэ нь дараах байдлаар энэ бодлоо илэрхийлэх иймэрхүү харагдах болно:

P (A) = M: N.

Энэ томъёонд, м - тэгш, бүрэн бүтэн бага үйл явдлын тоо - үйл явдал А таатай нөхцөл тоо, N байна.

дугаар зүйлд олон илэрхийллүүд нь юу ч авч байх болно харин өртсөн Жишээ нь, үйл явдлын магадлал хэмжээ гэх зэрэг хамгийн чухал хүмүүс байх болно байдаг:

P (A + B) = P (A) + P (B) - зөвхөн харилцан онцгой үйл явдал нэмэх энэ теорем;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - гэхдээ энэ нь нийцтэй нэмэх нь цорын ганц байна.

үйл явдал ажил магадлал:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - бие даасан үйл явдлын хувьд энэ теорем;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A), P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | Б)) - энэ хамааралтай байна.

үйл явдал томъёоны дуусгавар болсон жагсаалт. магадлалын онол бидэнд теорем хэлдэг Bayes, иймэрхүү харагдах болно:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (к = 1) ^ N P (H_k) P (A | H_k)), м = 1, ..., N

Энэ томъёо H _1, H _{2-р сард} ..., H _N - таамаглалыг бүрэн цуглуулга юм.

Энэ буудал дээр, дээж томъёо програм одоо практикаас тодорхой ажлуудад гэж үзэж болно.

жишээ

Хэрэв та анхааралтай математикийн ямар нэг салбарыг судалдаг бол, энэ дасгал, түүвэр шийдэл ч биш юм. Тэгээд магадлал онол: үйл явдал, энд жишээ шинжлэх ухааны тооцоолол батлах салшгүй бүрэлдэхүүн хэсэг юм.

сэлгэмэлийг тоо томъёо

Жишээ нь, карт тавцан нэрлэсэн нэг нь эхлэн, гучин карт байдаг. Дараагийн асуулт байна. Хэдэн тул нэг, хоёр нь нэрлэсэн үнэ бүхий картууд дараагийн байрлаж биш байсан тавцан дахин замууд?

даалгавар Одоо Хэрэв шийдвэрлэх талаар шилжих үзье гэж байна. Эхлээд та бид дээрх томъёоллыг энэ зорилгоор гучин элементийн сэлгэмэлийг, тоог тогтоох хэрэгтэй, энэ нь P_30 = 30 хувирна!.

Энэ дүрэмд үндэслэн бид олон янзаар тавцан доош тавих байдаг хэдэн сонголт мэднэ, гэхдээ бид тэднийг хасч байх ёстой эхний болон хоёр дахь карт ирэх байх нь тэр юм. Үүнийг хийхийн тулд хувилбаруудаас эхний хоёр дахь дээр байрласныг харуулж байна эхэлнэ. Энэ нь анх удаа газрын зураг хорин есөн газар авч болох болж байна - эхний хойш хорин ес дэх, мөн гучин хоёр дахь хоёр дахь карт, карт хос хорин есөн суудал хувирна. Хариуд нь, зарим нь хорин найман суудал авч, ямар ч дарааллаар болно. Энэ нь хорин найман карт байрлуулсны төлөө байгаа билээ хорин найман сонголт P_28 = 28!

үр дүн нь бид шийдвэр гэж үзвэл, 29 ⋅ 28 авахын тулд эхлээд карт хоёр дахь нэмэлт боломж байгаа үед байгаа юм! = 29!

ижил аргыг ашиглан, та эхлээд карт хоёр дахь доор байрлах тохиолдолд илүү сонголтуудын тоог тооцоолох хэрэгтэй. Мөн 29 ⋅ 28 авсан! = 29!

Эндээс энэ нь дараах гэсэн нэмэлт сонголтууд 2 ⋅ 29! тавцан нь 30 цуглуулах шаардлагатай арга байхад! - 2 ⋅ 29!. Энэ нь зөвхөн тооцоолох хэвээр байна.

30! = 29! ⋅ 30; 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Одоо бид хамтдаа нэг нь хорин ес тооны бүх үржүүлэх хэрэгтэй, дараа нь 28-аар үржүүлж бүх эцэст хариулт 2,4757335 ⋅〗 〖10 ^ 32 авсан

шийдлийн жишээ. орон сууцны тооны томъёо

Энэ асуудлын хувьд, та тавиур дээр арван таван ширхэг тавих арга байдаг хичнээн олж мэдэх хэрэгтэй, гэхдээ нөхцөлд зөвхөн гучин хэмжээ.

Энэ үүрэг нь өмнөх бодвол бага зэрэг илүү хялбар шийдвэр. аль хэдийн мэддэг томъёог ашиглан, энэ нь гучин байршлын арван таван боть нийт тоог тооцоолох шаардлагатай.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ ⋅ 29 ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ ⋅ 29 сарын 28 ⋅ ... ⋅ = 202 16 843 204 931 727 360 000

Хариу арга хэмжээ тус тус 202 843 204 931 727 360 000 тэнцүү байх болно.

Одоо бага зэрэг илүү хэцүү даалгавар авна. Та зөвхөн арван таван боть нэг тавиур дээр амьдарч болно р бүлэгт бичигдсэн нөхцлүүдийг нь лангуун дээр гучин хоёр ном зохион байгуулах арга зам, байдаг хэдэн мэдэж байх хэрэгтэй.

шийдвэрийн эхлэхээс өмнө асуудлуудын зарим нь хэд хэдэн аргаар шийдвэрлэж болно гэж тодруулах хүсэж байна, энэ хоёр арга зам байдаг ч аль аль нь нэг ижил томъёо хэрэглэж байгаа юм.

энэ үйлдэлд та тэнд учир нь бид таныг янз бүрийн аргаар арван таван ном тавиур бөглөх болох хэдэн удаа тооцож байгаа нь өмнөх нэг нь хариулт авч болно. = 30 ⋅ ⋅ 29 сарын 28 ⋅ ⋅ ... 16 - Энэ нь A_30 ^ 15 = 30 ⋅ ⋅ 29 сарын 28 ⋅ ⋅ ... (15 + 1 30) болсон.

Учир нь энэ арван таван үлдсэн байхад, арван таван ном байрлуулсан хоёр дахь хороо, томъёо reshuffle тооцно. Бид томъёо P_15 = 15 ашиглаарай!.

Энэ нь хүндэрсэн гэж нийлбэр A_30 ^ 15 ⋅ P_15 арга замууд, харин гадна, арван зургаан гучин бүх тоо бүтээгдэхүүн, арван тав нь нэг нь тооны бүтээгдэхүүн үржүүлж болно эцэст нь гучин нэгээс бүх тоо бүтээгдэхүүн гарч эргэж гэсэн хариулт юм болно 30 байна!

Гэхдээ энэ асуудал өөр замаар шийдвэрлэж болно - хялбар. Үүнийг хийхийн тулд та гучин ном нэг тавиур байдаг гэж төсөөлж болно. Эдгээр нь бүгд энэ хавтгай дээр байрлуулж, харин байгаа байдал хоёр тавиур, нэг урт бид хагаст хөрөөдөж, хоёр эргэж арван таван байсан юм шаарддаг юм. Эндээс тэр нь энэ зорилгоор P_30 = 30 байх болно гэдгийг хувирна!.

шийдлийн жишээ. хослолуудын тооны томъёо

Хэн Комбинаторик гурав дахь асуудлын нэг хувилбар гэж үзэж байна. Та гучин яг ижил сонгох ёстой нөхцөл дээр арван таван ном зохион байгуулж байгаа хэдэн арга зам мэдэж байх хэрэгтэй.

шийдвэр гаргах болно, мэдээж хэрэг, хослолын тоо томъёог хэрэглэнэ нь. нөхцөл эхлэн ижил арван таван ном дараалал нь чухал биш гэдэг нь тодорхой болж байна. Тиймээс эхлээд та гучин арван таван ном хослолын нийт тоог нь олох хэрэгтэй.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Энэ бол бүх юм. Ийм асуудлыг, хариулт тус тус 155,117,520 тэнцүү шийдвэрлэх аль болох богино хугацаанд, энэ томъёог ашиглаж байна.

шийдлийн жишээ. магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Дээр өгсөн томъёог ашигласнаар нэг энгийн даалгавар нь хариулт олж болно. Гэхдээ энэ нь тодорхой харж, үйл ажиллагааны чиглэлээ дагах болно.

зорилго нь бумба арван бүрэн ижил бөмбөг байдаг гэж өгсөн. Эдгээр нь дөрвөн шар, зургаан цэнхэр. бумба нэг бөмбөг авсан. Энэ нь цэнхэр dostavaniya магадлалыг мэдэх шаардлагатай юм.

Асуудлыг шийдэхийн тулд энэ нь Энэ туршлага нь арван үр дүн, байж болох dostavanie цэнхэр бөмбөг үйл явдал А тодорхойлох шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь эргээд, бага, тэнцүү магадлалтай. Үүний зэрэгцээ, арван зургаан үйл явдал A. дараах томъёогоор шийдвэрлэх таатай байна:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Энэ томъёог хэрэглэх, бид хөх өнгийн бөмбөг dostavaniya магадлал нь 0.6 байна гэж мэдсэн.

шийдлийн жишээ. үйл явдал дүнгийн магадлал

Хэн үйл явдал дүнг магадлалын томъёог ашиглан шийдэж байгаа нэг хувилбар байх болно. саарал найман дөрвөн цагаан бөмбөг - Тэгэхээр хоёр тохиолдол байдгийг нөхцөл өгөгдсөн, эхний нэг саарал, таван цагаан бөмбөг, харин хоёр дахь нь юм. Үүний үр дүнд эхний болон хоёр дахь хайрцаг тэдний нэгийг авсан байна. Энэ нь бөмбөг саарал, цагаан юм дутагдаж боломж байгаа юу олж мэдэх шаардлагатай юм.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд энэ үйл явдлыг тогтоох шаардлагатай байна.

• P (A) = 1/6: - Тиймээс бид эхлээд хайрцаг нь саарал бөмбөг байна.
• A '- Мөн эхний хайрцаг авсан цагаан чийдэнгийн: P (A ") = 5/6.
• - хоёр дахь суваг нь аль хэдийн олборлосон саарал бөмбөг: P (B) = 2/3.
• '- (= 1/3 B P B) хоёр дахь шургуулганд нь саарал бөмбөг авчээ.

AB "буюу" Б: асуудлын дагуу энэ үзэгдлийн нэг болсон гэж чухал юм томъёог ашиглан бид олж авах: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Одоо магадлалыг үржүүлж томъёо ашигласан байна. Дараа нь, хариултыг олохын тулд, та нэмж тэдний тэгшитгэлийг хэрэглэх хэрэгтэй:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Энэ нь хэрхэн томъёог ашиглан, та ийм асуудлыг шийдэж чадна шүү дээ.

үр дүн

цаасан дээр "магадлалын онол", чухал үүрэг гүйцэтгэдэг үйл явдлын магадлал талаарх мэдээллийг танилцуулсан байна. Мэдээж хэрэг биш, харин бүх зүйл гэж үзэж байгаа боловч танилцуулсан текст үндсэн дээр, та онолын математикийн Энэ салбарын танилцах болно. Гэж үздэг шинжлэх ухаан нь зөвхөн мэргэжлийн бизнест төдийгүй өдөр тутмын амьдралд чухал ач холбогдолтой байж болох юм. Та үйл явдлын ямар ч боломжийг тооцох үүнийг ашиглаж болно.

текст нь шинжлэх ухаан магадлалын онолын хөгжлийн түүхэнд чухал ач холбогдолтой он сар өдөр болон ажил түүн уруу хийж байгаа хүмүүсийн нэрийг өртсөн байна. Энэ нь ард түмэн тоолж, тэр ч байтугай санамсаргүй үйл явдал сурсан гэдгийг хүргэсэн сониуч зан яаж хүний юм. Нэгэнт тэд энэ нь зүгээр л сонирхож байгаа, гэхдээ өнөөдөр аль хэдийн бүх мэдэгдэж байна. Тэгээд хэн ч, бусад гайхалтай нээлт авч үзэж буй онол холбоотой юу үйлдсэн байх болно ирээдүйд бидэнд юу болохыг хэлж болно. Гэхдээ нэг зүйл нь баттай юм - судалгаа одоо ч үнэ цэнэтэй биш юм!