Тогтмол polyhedra: элементүүд нь тэгш, бүсийн

Учир нь, алгебр, үргэлж тодорхой биш байна ялгаатай нь яагаад та нар юу гэж бодож байна, харааны обьектийг өгдөг Геометр сайхан юм. янз бүрийн байгууллагын Энэ гайхамшигтай ертөнц тогтмол polyhedra чимдэг.

тогтмол polyhedra тухай ерөнхий мэдээлэл

Олон тогтмол polyhedrons дагуу, эсвэл тэд Platonic бодис гэж нэрлэдэг шиг, өвөрмөц шинж байх. Эдгээр обьектууд нь хэд хэдэн шинжлэх ухааны таамаглал холбогдсон байна. Хэрэв та биеийн геометрийн мэдээллийг судалж эхлэх үед та бараг л тогтмол polyhedra шиг ийм үзэл баримтлалын талаар юу ч мэдэхгүй байна гэж ойлгож байна. сургуульд эдгээр объектуудын танилцуулга үргэлж сонирхолтой биш, маш олон байсан ч тэд гэж нэрлэдэг байсан зүйлээ санахгүй байна. Ихэнх хүмүүсийн санах ой энэ нь зүгээр л нэг шоо юм. биеийн геометр аль нь ч тийм төгс төгөлдөрт тогтмол polyhedrons гэж байх биш. Эдгээр геометрийн байгууллагуудын тухай мэдээлэл нэр эртний Грекийн гаралтай. icosahedral - tetrahedron - дөрвөн талт, hexahedron - Аллен, октаэдр - Octagon, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron: Тэд нүүр тоог илэрхийлнэ. Эдгээр геометрийн биеийн бүх ертөнцийн Платоны үзэл баримтлал чухал байр эзэлдэг. - гал түймэр, icosahedron - усны шоо - дэлхий, октаэдр - агаарын tetrahedron Тэдний дөрвөн элемент буюу аж ахуйн нэгж биеллээ олсон байна. Dodecahedron бүх зүйлийг биеллээ олсон. Тэр ертөнцийн бэлэг тэмдэг болгон, гол гэж үзэж байна.

нь polyhedron үзэл баримтлал нь тугээмэл

Polyhedron Ийм олон өнцөгт нь хязгаарлагдмал цуглуулга юм:

• олон өнцөгт аль талдаа тус бүр нэг цагт нэг талд нь өөр олон өнцөгт нь зөвхөн нэг тал байна;
• Та олон өнцөгт түүнтэй зэргэлдээ өгөн бусад руу алхах болно полигон тус бүрээс.

хавирга - polyhedron бүрдүүлэх өнцөгтүүдийг түүний нүүр болон тэдний тал нь харуулж байна. polyhedra орой олон өнцөгт Оройн байна. цаг Полигон хавтгай хаалттай polylines ойлгож байгаа бол, дараа нь polyhedron нэг тодорхойлолт ирдэг. Энэ хугацаанд өөр тасархай шугамын хүрээлэгдсэн байдаг онгоцоор нэг хэсэг гэсэн үг юм тохиолдолд, энэ нь олон өнцөгт ширхэг бүрдсэн гадаргууг ойлгож болно. Гүдгэр polyhedron онгоц нэг талд хэвтэж байгууллага, түүний нүүр зэргэлдээ гэж нэрлэдэг.

нь polyhedron, түүний элементүүдийн өөр нэг тодорхойлолт

Polyhedron геометрийн биеийг хязгаарладаг бөгөөд энэ нь олон өнцөгт бүрдсэн гадаргууг гэж нэрлэдэг. Тэдгээр нь:

• бус, гүдгэр,
• гүдгэр (зөв, буруу).

Энгийн polyhedron - хамгийн их тэгш хэмийн нь гүдгэр polyhedron юм. тогтмол polyhedra элементүүд:

• Tetrahedron: 6 хавирга 4 царай 5 Оройн;
• hexahedron (шоо) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• октаэдр 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

Эйлерийн теорем

Энэ нь ирмэг, орой, нүүр царай тоо хоорондын харилцаа topologically нь бөмбөрцөг тэнцүү байдаг тогтооно. орой, ирмэг (P) 2. өссөн тоотой тэнцүү нүүр царай тоо нийлбэр Энэ нь энгийн томъёог гарган авах боломжтой байдаг: орой, нүүр царай тоог (B D +) байх янз бүрийн тогтмол polyhedra нэмж хавирга тоо тэднийг харьцуулан, нэг дүрмийг тохируулах боломжтой байдаг:

• B + D = P + 2.

Энэ томъёо нь бүх гүдгэр polyhedra хувьд хүчин төгөлдөр байна.

үндсэн тодорхойлолт

тогтмол polyhedron ойлголт нэг өгүүлбэрт тайлбарлах боломжгүй юм. Энэ нь илүү үнэ цэнэтэй, хэмжээ юм. А байгууллага нь зэрэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн байх ёстой, энэ тодорхойлолт нь хэд хэдэн үгийн утганд яг тохирч шаардлагатай болж байгаа юм. Тиймээс геометрийн биеийн эдгээр нөхцөл хангагдсан байнгын polyhedron байх болно:

• Энэ нь гүдгэр байх;
• хавирга мөн тоо нь оройн бүрт converges;
• Түүний бүхий л талбар - тогтмол олон өнцөгт, өөр хоорондоо тэнцүү;
• Бүх dihedral өнцөг тэнцүү байна.

тогтмол polyhedra шинж чанар

тогтмол polyhedra 5 өөр өөр төрлүүд байдаг:

1. Cube (hexahedron) - энэ нь хавтгай оройн өнцөг нь 90 ° юм байна. Энэ нь 3 талт өнцөг байна. Хэмжээ нүүр 270 ° -ийн оройд өнцөг.
2. Tetrahedron - 60 ° - хавтгай оройн өнцөг. Энэ нь 3 талт өнцөг байна. 180 ° - хэмжээ нүүр оройд өнцөг.
3. Октаэдр - 60 ° - хавтгай оройн өнцөг. Энэ нь дөрвөн талт өнцөг байна. 240 ° - хэмжээ нүүр оройд өнцөг.
4. Dodecahedron - 108 ° -ийн хавтгай оройн өнцөг. Энэ нь 3 талт өнцөг байна. 324 ° - хэмжээ нүүр оройд өнцөг.
5. Icosahedron - 60 ° - энэ нь хавтгай оройн өнцөг байна. Энэ нь таван талт өнцөг байна. Хэмжээ нүүр 300 ° -ийн оройд өнцөг.

тогтмол polyhedra талбай

Геометр байгууллагын гадаргуугийн талбай (S) талбар тоо (G) үржүүлж тогтмол Полигон газар гэж тооцно:

• S = (а: 2) х 2G ctg π / х.

тогтмол polyhedron хэмжээ

Энэ утга нь тогтмол пирамид суурь тогтмол Полигон, царай тоо хэмжээг үржүүлж тооцно, өндөр салбарт (R) нь бичээстэй радиус нь:

• V = 1: 3rS.

тогтмол polyhedra боть

бусад геометрийн хатуу, тогтмол polyhedra нэгэн адил өөр өөр боть байна. Доорх нь тэд тооцож болно томъёо нь:

• Tetrahedron: α х 3√2: 12;
• октаэдр: α х 3√2: 3;
• icosahedron; α х 3;
• hexahedron (шоо): α х 5 х 3 х (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α х 3 (15 + 7√5): 4.

тогтмол polyhedra элементүүд

Hexahedron болон октаэдр хос геометрийн байгууллага байна. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь нэг centroid бусад дээд, болон эсрэгээр авч байгаа тохиолдолд бие биедээ гарч болох юм. Мөн хоёр icosahedron болон dodecahedron байна. Өөрөө л tetrahedron хос юм. Эвклидийн аргын дагуу куб нүүрэнд нь "дээвэр" барьж гэхэд dodecahedron hexahedron авч болно. tetrahedron нь орой куб аливаа 4 Оройн, захаар үгүй биш зэргэлдээ хос байна. hexahedron (куб) гарган авч болно, бусад тогтмол polyhedra байна. гэсэн хэдий ч тогтмол өнцөгтүүд тоо томшгүй олон, тогтмол polyhedra байдаг, зөвхөн 5 байдаг.

тогтмол олон өнцөгт радиус

Эдгээр геометрийн байгууллага тус бүрийн холбогдсон хэмжээсийн бөмбөрцөг 3 нь:

• оройн дайран заасан;
• Хэрэв дунд түүний нүүр царай бүрийн талаар бичээстэй;
• дунд бүх ирмэгийг тухай дундаж.

дараах томъёогоор тодорхойлсон бөмбөрцөгийн радиус тооцно:

• R A =: 2 х TG π / г х TG θ: 2.

дараах байдлаар бичээстэй бөмбөрцөгийн радиус тооцно:

• R = A: 2 х ctg π / P х TG θ: 2,

хаана θ - dihedral өнцөг зэргэлдээ талбар хооронд байна.

бөмбөрцөгийн дундаж радиус дараах томъёогоор тооцож болно:

• ρ = нь COS π / P: 2 нүгэл π / ц,

H 4.6, 6.10, эсвэл 10-бичээстэй тодорхойлсон радиусын харьцаа ба тэгш хэмтэй P болон Q талаар хэмжээг = хаана. дараах байдлаар тооцно:

• R / R = TG π / P х TG π / А.

polyhedra нь тэгш

тогтмол polyhedra тэгш хэмийн эдгээр геометрийн байгууллагад анхан шатны сонирхол татаж байна. Энэ Оройн, нүүр царай, ирмэг ижил тооны орхидог орон зай дахь биеийн хөдөлгөөн, гэж ойлгож болно. Өөрөөр хэлбэл, тэгш хэмийн нөлөө ирмэг өөрчлөлтийн дагуу, оройн, эсвэл нүүр нь анхны байр сууриа хадгалж, эсвэл өөр нэг хавирга, бусад оройн буюу нүүр царай гэр албан тушаалд алхамууд.

тогтмол polyhedra тэгш хэмийн элементүүд геометрийн хатуу бүх төрлийн нийтлэг байдаг. Энд таних шилжих анхны байрлалд оноо ямар ч орхидог дээр явуулсан байна. Тэгэхээр та эргэх үед, олон өнцөгт, призмийн зарим нь тэгш хэмийг авч болно. Тэдний хэн нэг нь тусгал бүтээгдэхүүн илэрхийлж болно. Symmetry нь ч гэсэн үзэл бодлоо илэрхийлсэн тоо, шууд хэмээх бүтээгдэхүүн юм. Энэ нь үзэл бодлоо илэрхийлсэн нь сондгой тооны бүтээгдэхүүн юм бол, энэ нь санал гэж нэрлэдэг. Тиймээс шугамын эргэн тойрны бүх эргэж шулуун тэгш илэрхийлнэ. Аливаа тусгал polyhedron - урвуу тэгш байна.

тогтмол polyhedra тэгш хэмийн элементүүдийг илүү сайн ойлгохын тулд, та tetrahedron жишээ авч болно. Аливаа мөр орой, төв нэг дамжин өнгөрч болно геометрийн хэлбэр, газар авч, түүнд зах эсрэг талын төв замаар болно. шугамын ойролцоо ээлжээр 120, 240 ° бүр олон тооны tetrahedral тэгш хэмийн хамаарагдана. Хэрэв 4 орой, нүүр царай болохоор бид найман шууд тэгш хэмийг нь нийт авах болно. ирмэг дунд, биеийн төвд дамжин аль ч мөрүүдийн, энэ нь эсрэг ирмэг дундуур дайран өнгөрдөг. 180 ° аливаа эргүүлэх, шулуун тэгш хэмийн орчим хагас ээлж гэж нэрлэдэг. tetrahedron хавирга гурван хос байдаг тул, та нар тэгш хэмийн гурван шугам авах болно. Дээрх дээр үндэслэн бид арван хүртэл байж болно, биеийн өөрчлөлт гэх мэт шууд тэгш хэмийн нийт тоо болон гэж дүгнэж болох юм. Бусад шууд тэгш tetrahedron байх биш, гэхдээ энэ нь 12 урвуу тэгш байна. Иймээс зөвхөн 24 tetrahedron тэгш хэмийг онцлогтой. Тодруулбал, бид картон хийсэн тогтмол tetrahedron загварыг бий болгох, энэ нь геометрийн биеийн үнэхээр зөвхөн 24 тэгш байдаг эсэхийг хийж болно.

Dodecahedron болон icosahedron - биеийн талбайд хамгийн ойр. Icosahedron нүүр царай хамгийн олон, dihedral өнцөг бөгөөд бүх хамгийн нягт бичээстэй салбарт наалдан болно. Dodecahedron хамгийн бага өнцгийн дутагдал хамгийн хатуу орой дээр өнцөг байна. Энэ байдал нь хүрээн бөглөх нэмэгдүүлэх болно.

скан polyhedra

Тогтмол polyhedra скан, бид бүгд бага насны хамтдаа гацсан, үзэл баримтлал нь маш их байдаг. олон өнцөгт багц байхгүй бол тал бүрийн polyhedron зөвхөн нэг тал нь тогтоогдсон бол талуудын таних хоёр нөхцөл хангасан байх ёстой:

• олон өнцөгт бүрийн, та талд тодорхойлох байх нь олон өнцөгт явж болно;
• таних тал нь ижил урттай байх ёстой.

Эдгээр нөхцөлийг хангасан олон өнцөгт олонлог юм, мөн polyhedron скан гэж нэрлэдэг. Эдгээр байгууллага бүр тэдний хэд хэдэн байна. Жишээ нь, шоо нь тэнд 11 ширхэг байдаг.