Шийдэл бүхий магадлалын онолын асуудал. Дамми хийх магадлалын онол

Математикийн хичээлд оюутнууд маш их гайхширдаг бөгөөд энэ нь магадлалын онолын асуудал юм. Ижил төстэй ажил үүргийн шийдэлтэй тул оюутнууд бараг зуун хувь нь асуудалтай байдаг. Энэ асуудлыг ойлгох, ойлгохын тулд үндсэн дүрэм, аксиом, тодорхойлолтыг мэдэх хэрэгтэй. Номын текстийг ойлгохын тулд бүх товчилсон үгсийг мэдэх хэрэгтэй. Энэ бүгдийг бид сурч мэдэхийг санал болгож байна.

Шинжлэх ухаан ба түүний хэрэглээ

Бид "аяганууд" -ын магадлалын онолыг түргэвчилсэн курсээр санал болгосноос эхлээд үндсэн ухагдахуун, үсгийн товчлолыг танилцуулах хэрэгтэй. Эхлээд "магадлалын онол" гэсэн ойлголтыг тодорхойлъё. Шинжлэх ухаан гэж юу вэ, энэ нь юу вэ? Магадлалын онол нь санамсаргүй үзэгдэл, тоо хэмжээг судлах математикийн салбаруудын нэг юм. Тэрбээр эдгээр санамсаргүй хувьсагчидтай хийсэн загвар, шинж чанар, үйл ажиллагааг авч үздэг. Энэ нь юу вэ? Шинжлэх ухаан нь байгалийн үзэгдлийн судалгаанд өргөнөөр хүлээн зөвшөөрсөн. Аливаа байгалийн болон биет үйл явц боломжийнхоо хувьд хийж чадахгүй. Туршилтын туршид үр дүнг аль болох нарийвчлалтай тусгасан байсан ч ижил туршилтыг давтан хийвэл өндөр магадлалтай үр дүн нь ижил биш байх болно.

Аливаа магадлалын онолын жишээн дээр бид өөрсдөө харж болно. Үр дүн нь анхаарал хандуулах эсвэл бүртгэх бараг боломжгүй олон хүчин зүйлээс шалтгаална, гэхдээ энэ нь туршилтын үр дүнг асар их нөлөө үзүүлдэг. Хүчтэй жишээнүүд нь гарагуудын хөдөлгөөнийг тодорхойлох буюу цаг агаарын урьдчилсан таамаглалыг тодорхойлох, ажилдаа явж байхдаа таних тэмдэгтэй уулзах магадлал, тамирчдын өндрийг тодорхойлох явдал юм. Үүнтэй нэгэн адил магадлалын онол нь хөрөнгийн бирж дээр брокеруудад маш их тус болдог. Урьд өмнө тулгараад байсан олон асуудал тулгарсан магадлалын онолын асуудал нь доорхи гурваас дөрөвдүгээр жишээний дараа танд бага зэрэг асуудал үүсгэх болно.

Үйл явдал

Өмнө дурьдсанчлан, шинжлэх ухаан бол үйл явдлыг судлах явдал юм. Магадлалын онол, шийдвэрлэх асуудлын жишээнүүдээс бид бага зэрэг хожимдож үзэх болно, зөвхөн нэг зүйл судлагдана - санамсаргүй тохиолдлууд. Гэсэн хэдий ч үйл явдлууд нь гурван төрлийн байж болно гэдгийг мэдэх шаардлагатай:

• Боломжгүй.
• Гайхалтай.
• Санамсаргүй

Бид тэдгээрийг бүгдийг нь тодорхой болгохыг зөвлөж байна. Аливаа нөхцөл байдалд хэзээ ч тохиолдож болохгүй боломжгүй зүйл. Жишээ нь: нэмэх температур дээр ус хөлдөх, бөмбөлөгтэй баганаас шоо зурах.

Хэрэв бүх нөхцөл хангагдсан бол найдвартай үйл явдлыг үргэлж үнэмлэхүй баталгаа гаргана. Жишээ нь: Та хийсэн ажилдаа цалин авч, мэргэжлийн дээд боловсролын диплом авсан, хэрэв та итгэлтэйгээр судалж, шалгалтанд тэнцсэн, дипломоо хамгаалсан гэх мэт.

Санамсаргүй үйл явдлуудаар бол бүх зүйл арай илүү төвөгтэй байдаг: туршилтын туршид ийм тохиолдол байж болох юм, жишээ нь, картын тавцангаас хөзрийг татах, гурван оролдлого хийхгүй байх. Үр дүнг эхний оролдлогоос хоёуланг нь авч болох ба ерөнхийдөө хүлээн авахгүй. Энэ бол шинжлэх ухааны судлах үйл явдлын гарал үүсэл юм.

Магадлал

Энэ нь ерєнхий нєхцєл байдалд тохиолдсон їйл явдлын амжилттай їр дїнгийн боломжийн їнэлгээ юм. Магадлалыг үнэлэх боломжгүй, эсвэл хэцүү үед чанарын түвшинд магадлалыг үнэлдэг. Тохиолдлын магадлалыг тооцоолох магадлалын онолын асуудал нь амжилттай үр дүнгийн хамгийн боломжит хэсгийг олох явдал юм. Математикийн магадлал нь үйл явдлын тоон үзүүлэлт юм. Энэ нь тэгээс нэг хүртэлх утгыг авдаг бөгөөд үсэг П.хаар тэмдэглэв. Хэрэв P нь тэгтэй тэнцүү бол үйл явдал тохиолдох боломжгүй бол, хэрэв нэг нь 100% -ийн магадлалтайгаар тохиолдоно. Илүү их P ойртох тусам, амжилттай үр дүн гарах магадлал илүү хүчтэй болж, хэрэв тэгтэй ойролцоо байвал, үйл явдал нь бага магадлалтай байх болно.

Товчлол

Таамаглалын онол, удахгүй тохиолдох шийдлийн асуудал дараахь товчилсон үгсийг агуулж болно:

• !
• {};
• N;
• P ба P (X);
• A, B, C, гэх мэт.
• N;
• M.

Боломжтой ба зарим нь: нэмэлт тайлбарыг шаардлагатай бол нэмнэ. Дээр дурдсан товчлолуудыг тайлбарлахыг бид зөвлөж байна. Манай жагсаалтын эхнийх нь хүчин зүйл юм. Ил тод байхын тулд зарим жишээг үзүүлье: 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 эсвэл 3! = 1 * 2 * 3. Цаашилбал, буржгар хаалтанд өгөгдсөн багцыг бичих, жишээлбэл: {1, 2, 3, 4, ..; n} эсвэл {10; 140; 400; 562}. Дараагийн тэмдэглэгээ нь магадлалын онол дахь даалгаварт олддог байгалийн тооны багц юм. Бидний өмнө дурдсанчлан, P нь магадлал бөгөөд P (X) нь үйл явдлын тохиолдол гарах магадлал юм. Латин цагаан толгойн том үсгүүд нь үйл явдлыг харуулдаг. Жишээлбэл: A - цагаан бөмбөг уналт, B - цэнхэр, C - улаан эсвэл. Жижиг үсэг n нь бүх боломжит үр дүнгийн тоо, m нь амжилттай хүмүүсийн тоо юм. Тиймээс энгийн анхан шатны асуудлуудад сонгодог магадлалыг олж авахын тулд дүрмийг бид олж авдаг: P = m / n. Магадгүй "teapots" магадлалын онол энэ мэдлэг дээр хязгаарлагдмал байж болох юм. Одоо засахын тулд бид шийдэлд хүрнэ.

Асуудал 1. Combinatorics

Оюутны бүлэг нь 30 хүнээс бүрддэг бөгөөд тэдгээр нь ахлагч, түүний орлогч, үйлдвэрчний эвлэлийг сонгох шаардлагатай байдаг. Энэ үйлдлийг хийх аргуудын тоог олох шаардлагатай. Дэмжигдсэн даалгавар нь USE дээр уулзаж болно. Одоогийн авч үзсэн асуудлуудын шийдэл болох магадлалын онол нь комбинатын курсээс эхлээд сонгодог магадлал, геометрийн магадлал, үндсэн томъёоны асуудал зэргийг багтааж болно. Энэ жишээн дээр бид комбинатын курсоос даалгавар өгдөг. Одоо бид шийдэлд хандаж байна. Энэ даалгавар бол хамгийн энгийн зүйл юм:

1. N1 = 30 - оюутны бүлгийн дарга болох боломжтой;
2. N2 = 29 - орлогчийг орлож чадах хүмүүс;
3. N3 = 28 хүн үйлдвэрчний эвлэлийн байр сууринд тавьдаг.

Бидний хийх ёстой зүйл бол боломжит тооны боломжит хувилбарыг олох явдал юм. Үүний үр дүнд: 30 * 29 * 28 = 24360.

Энэ нь асуултын хариулт болно.

Асуудал 2. Сонгох

Бага хурлын үеэр 6 хүн оролцсон бөгөөд захиалга нь парт зураглалаар тодорхойлогдоно. Дизайны боломжит хувилбаруудыг олох хэрэгтэй. Энэ жишээнд бид 6 элементийн зөвшөөрлийг авч үзье, өөрөөр хэлбэл, бид 6 олох хэрэгтэй!

Товчхондоо бид чухам юу болохыг, үүнийг хэрхэн тооцоолсон талаар дурдсан. Нийтдээ 720 сонголт байна. Эхний ээлжинд хэцүү даалгавар нь маш богино бөгөөд энгийн шийдэлтэй байдаг. Эдгээр нь магадлалын онолоор авч үзсэн ажлууд юм. Дээд түвшний асуудлуудыг хэрхэн шийдэх талаар бид дараах жишээн дээр авч үзэх болно.

Даалгавар 3

Хорин таван оюутны бүлэг нь зургаа, ес, аравны гурван дэд бүлэгт хуваагдана. Бидэнд: n = 25, k = 3, n1 = 6, n2 = 9, n3 = 10. Хүссэн томъёогоор утгыг орлуулахын тулд бид дараах зүйлийг авна: N25 (6,9,10). Энгийн тооцооллын дараа бид хариултыг авна уу - 16 360 143 800. Хэрэв даалгавар нь тоон шийдлийг авах шаардлагатай гэж хэлээгүй бол факториали хэлбэрээр өгч болно.

Даалгавар 4

Гурван хүн нэгээс арван хүртлэхийг хүсч байсан. Хэн нэгэн ижил дугаартай байх магадлалыг олох. Эхлээд бид бүх үр дүнгийн тоог мэддэг байх хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд бидний мянга мянган буюу гурав дахь түвшний 10 байна. Одоо бид янз бүрийн тооны таах таамгийг хэлэхэд, бид хэдэн арван, ес, наймыг үржүүлдэг. Эдгээр тоо хаанаас ирсэн бэ? Эхнийх нь энэ тоог таамаглаж байгаа, арван сонголттой, хоёр дахь нь есөн, гурав дахь нь үлдсэн найман сонголтынх байх ёстой, иймээс бид 720 боломжтой хувилбарыг авдаг. Бид аль хэдийн тооцоолсоны адил 1000-ийн бүх хувилбарууд, 720-ийн давталтгүйгээр бид үлдсэн 280-ийг сонирхож байна. Одоо сонгодог сонгодог магадлалыг олж авах томъёо хэрэгтэй байна: P =. Бид хариуг нь авсан: 0.28.