Гурвалжны периметр: үзэл баримтлал, шинж чанар, тодорхойлох арга

Гурвалжин нь геометрийн үндсэн зургуудын нэг бөгөөд шулуун шугамын сегментүүдийн гурван огтлолцлыг төлөөлнө. Энэ зургийг эрдэмтэд, инженер, дизайнеруудаас өнөөдрийг хүртэл хэрэглэж байсан томъёолол, хуулиудаас ихэнхийг нь авсан Эртний Египет, Эртний Грек, Эртний Хятад эрдэмтэд мэддэг байжээ.

Гурвалжны гол бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь:

• Босоо нь сегментийн огтлолцлын цэгүүд юм.

• Талууд нь шугамын сегментүүдийн огтлолцол юм.

Эдгээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хувьд гурвалжны периметр, түүний талбай, бичмэл, хязгаарласан тойрог гэх мэт ойлголтыг томьёолох. Сургуулиас гурвалжингийн периметр гэдэг нь түүний гурван талуудын нийлбэрийн тоон илэрхийлэл юм. Үүний зэрэгцээ судлаачийн анхны өгөгдлөөс хамааран өгөгдсөн үнэ цэнэ олоход маш олон тооны томъёо байдаг.

1. Гурвалжны периметрийг олох хамгийн хялбар арга нь гурван тал (x, y, z) -ийн тоон утгууд нь үр дүнгийн хувьд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд хэрэглэгдэнэ:

P = x + y + z

2. Тэнцвэрийн гурвалжингийн периметрийг бүгдийг нь адил тэгш өнцөгттэй тэнцүү гэж үзнэ. Энэ талбайн уртыг мэдэж байгаа бол адил талт гурвалжны периметрийг томъёогоор тодорхойлж болно:

P = 3х

Гурвалжны гурвалжны хувьд тэгш өнцөгт гурвалжингаас ялгаатай нь зөвхөн хоёр талт тал нь ижил тоон утгатай байдаг бөгөөд энэ тохиолдолд ерөнхийдөө периметр нь дараах байдлаар байна:

P = 2x + y

4. Бүх талыг хамарсан тоон утгыг мэдэх тохиолдолд дараах аргууд зайлшгүй шаардлагатай. Жишээ нь хэрэв судалгаа хоёр талд байгаа өгөгдөлтэй бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь мэдэгдэж байвал гурвалжингийн периметрийг гуравдагч тал болон мэдэгдэж буй өнцгийг тодорхойлох замаар олж болно. Энэ тохиолдолд гуравдагч этгээд дараах томъёогоор олдоно:

Z = 2x + 2y-2xycosβ

Үүний үр дүнд гурвалжны периметр нь дараахтай тэнцүү байна:

P = x + y + 2x + (2y-2xycos β)

5. Гурвалжны нэг талаас илүүгүй уртыг өгч байхад түүний ойролцоо хоёр өнцгийн тоон утгыг мэдэж байгаа бол гурвалжингийн периметрийг синагим теорем дээр үндэслэн тооцоолж болно:

P = x + sinβ x / (sin (180 ° -β)) + sinγ x / (sin (180 ° -γ))

6. Зурган дээр тодорхойлогдсон тойрог нь гурвалжингийн периметрийг олоход хэрэглэгддэг. Энэ томьёог сургуулийн өдрөөс хойш ихэнх хүмүүс мэддэг.

P = 2S / r (S нь тойргийн талбай, r нь радиус).

Дээрхээс эхлэн гурвалжингийн периметрийг судлаачийн эзэмшдэг өгөгдөл дээр тулгуурлан янз бүрийн аргаар олж авч болно. Үүнээс гадна өгөгдсөн үнэ цэнийг олох хэд хэдэн тодорхой тохиолдол байдаг. Тиймээс периметр нь зөв өнцөгт гурвалжингийн хамгийн чухал хэмжигдэхүүнүүдийн нэг юм.

Тодруулбал, ийм гурвалжин нь хоёр тал нь зөв өнцгийг үүсгэдэг дүрс юм. Зөв өнцгөөр гурвалжны периметрийг хөл болон гипотенузын нийлбэрийн тоон илэрхийлэлээр олдог. Хэрэв судлаач зөвхөн хоёр талыг мэддэг бол үлдсэн хэсгийг алдартай Pythagoras теорем ашиглан тооцоолж болно: z = (x2 + y2) хоёулаа мэдэгдвэл x = (z2 - y2) гипотенуз болон муур мэдэгдэнэ.

Түүний гипотенузын урт ба түүний өнцгийн аль нэг өнцөг нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд нөгөө хоёр талыг томъёогоор x = z sinβ, y = z cosβ өгнө. Энэ тохиолдолд зөв гурвалжин гурвалжны периметр нь:

P = z (cosβ + sinβ + 1)

Онцгой тохиолдол бол ердийн (буюу тэнцвэртэй) гурвалжны периметрийг тооцоолох, бүх тал ба бүх өнцөг тэнцүү байх тоогоор тодорхойлогддог. Мэдэгдэж буй тал дээр ийм гурвалжингийн периметрийг тооцоолох нь ямар ч асуудал үүсгэдэггүй, гэхдээ судлаач ихэвчлэн зарим өгөгдлийг мэддэг. Тэгэхээр, хэрэв тэмдэглэсэн тойргийн радиус мэдэгдэж байгаа бол энгийн гурвалжны периметрийг томъёогоор олно:

P = 6√3r

Хэрэв тойрог орчмын тойргийн радиус өгөгдсөн бол тогтмол гурвалжны периметр дараах байдлаар олдоно:

P = 3√3R

Практикт амжилттай хэрэгжихийн тулд томъёогоор цээжлэх хэрэгтэй.